作成者: @fujidig, 作成日: 2020/1/21
Kunenの"Set Theory" (2011)のIII.1節のExercisesの解答です．
$\operatorname{cov}(\mathrm{null}) \le \operatorname{non}(\mathrm{meager})$かつ$\operatorname{cov}(\mathrm{meager}) \le \operatorname{non}(\mathrm{null})$．
$\Q = \{ q_i : i \in \omega \}$として， \[ D_n = \bigcup_{i\in\omega} \left(q_i - \frac{1}{(n+1)2^{i+2}}, q_i + \frac{1}{(n+1)2^{i+2}}\right) \] とおけば$D_n$は稠密開集合でかつ，$\mu(D_n) \le \frac{1}{n+1}$となる． $B = \bigcap_{n \in \omega} D_n, A = \R \setminus B$とおく． 測度の連続性より$\mu(B) = 0$． また，各$D_n$が稠密開集合なので$A$はmeagerである． //
さて，主張を使って，Exercise III.1.8を示そう． $X \not \in \mathrm{null}$とすると \[ X + A = \R \] である． なぜならば，$X + A \ne \R$とすると，$c \in \R$がとれて$c \not \in X + A$． このとき \[ \forall x \in X, \forall a \in A, c \ne x + a. \] すなわち \[ \forall x \in X, \forall a \in A, a \ne -x + c. \] よって \[ \forall x \in X, -x + c \in \R \setminus A = B. \] つまり \[ \forall x \in X, -x \in -c + B \] なので \[ -X \subset -c + B. \] これは$X \not \in \mathrm{null}, B \in \mathrm{null}$に矛盾するからである．
よって$\R$は$|X|$個の$A$の平行移動の和集合であり，各$A$の平行移動はmeagerである． したがって， \[ \operatorname{cov}(\mathrm{meager}) \le \operatorname{non}(\mathrm{null}). \] $\operatorname{cov}(\mathrm{null}) \le \operatorname{non}(\mathrm{meager})$も同様に示せる． □
$\mathfrak{b}$は正則かつ$\operatorname{cf}(\mathfrak{d}) \ge \mathfrak{b}$．
$\mathfrak{b}$が正則について． $\mathfrak{b}$が特異だとする． $\theta = \operatorname{cf}(\mathfrak{b}) \lt \mathfrak{b}$とする． $\mathfrak{b}$のcofinal sequence $(\kappa_\alpha : \alpha \lt \theta)$をとる． $\mathfrak{b}$の定義より，unbounded family $B$で$|B| = \mathfrak{b}$なものをとる． $B$を整列して，$B = \{ f_\mu : \mu \lt \mathfrak{b} \}$とする． $B_\alpha = \{ f_\mu : \mu \lt \kappa_\alpha \}$とおく． すると$B = \bigcup_{\alpha \lt \theta} B_\alpha$．
$|B_\alpha| = \kappa_\alpha \lt \mathfrak{b}$より各$B_\alpha$はboundedである． そこで$g_\alpha: \omega \to \omega$がとれて$\forall f \in B_\alpha, f \le^\ast g_\alpha$． $G = \{ g_\alpha : \alpha \lt \theta \}$とおく． $|G| \le \theta \lt \mathfrak{b}$より$G$はboundedである． よって$g: \omega \to \omega$がとれて，$\forall \alpha \lt \theta, g_\alpha \le^\ast g$．
すると任意の$f \in B$について，$\alpha \lt \theta$があって$f \in B_\alpha$かつ$f \le^\ast g_\alpha \le^\ast g$． よって，$B$は$g$によってboundされる． これは$B$がunbouded familyであったことに矛盾． //
$\operatorname{cf}(\mathfrak{d}) \ge \mathfrak{b}$について． $A \subset \mathfrak{d}$かつ$A$が$\mathfrak{d}$でcofinalならば，濃度$|A|$のunbounded familyが存在することを言う． dominating family $D = \{ f_\alpha : \alpha \lt \mathfrak{d} \}$をとる． $A = \{ \alpha_\nu : \nu \lt |A| \} \subset \mathfrak{d}$を$\mathfrak{d}$でcofinalとする． $\nu \lt |A|$に対し$D_\nu = \{ f_\alpha : \alpha \lt \alpha_\mu \}$とおく． $|D_\nu| \lt |\alpha_\mu| \lt \mathfrak{d}$より$D_\nu$はdominatingでない． $g_\nu: \omega\to\omega$で$\forall f \in D_\nu, g_\nu \not \le^\ast f$ …①となるものをとる． $G = \{ g_\nu : \nu \lt |A| \}$とおく．
$G$がunboundedなことを示す．$G$が$h: \omega \to \omega$によってboundされるとする． $D$がdominatingなので，$\alpha \lt \mathfrak{d}$で$h \le^\ast f_\alpha$となるものをとる． $A$がcofinalなので，$\nu \lt |A|$で$\alpha \lt \alpha_\nu$なるものをとる． すると$g_\nu \le^\ast h \le^\ast f_\alpha$．ここで$f_\alpha \in D_\nu$なので①に矛盾． // □
無限基数$\kappa$に対し，$\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\kappa)$は次を満たすときindependent familyと呼ばれる: 任意の$m, n \in \omega$と互いに異なる$X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_n \in \mathcal{E}$に対し， \[ |X_1 \cap \dots \cap X_m \cap (\kappa \setminus Y_1) \dots (\kappa \setminus Y_n)| = \kappa. \] 濃度$2^\kappa$のindependent family $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\kappa)$が存在することを示せ．
\[ I = \{(s, A) : s \in [\kappa]^{\lt \omega} \land A \subset \mathcal{P}(s) \}\] とおく．すると$|I| = \kappa$.$\kappa$の部分集合族の代わりに$I$の部分集合族でindependent familyなものを作る．
$X \subset \kappa$に対し， \[ E_X = \{ (s, A) \in I : X \cap s \in A \} \] とおく．
互いに異なる$X_1, \dots, X_m, X_{m+1}, \dots, X_{m+n} \subset \kappa$をとる． このとき \[ |E_{X_1} \cap \dots \cap E_{X_m} \cap (I \setminus E_{X_{m+1}}) \dots (I \setminus E_{X_{m+n}})| = \kappa \] を示す． すなわち，$(s, A) \in I$であって，$X_i \cap s \in A\ (i = 1, \dots, m)$かつ$X_i \cap s \not \in A\ (i = m+1, \dots, m+n)$なるものが$\kappa$個あることを示さなければならない．
$X_k$たちはすべて互いに異なるので，インデックスの組$(i, k)\ (1 \le i \lt k \lt m + n)$のおのおのについて$x(i, k) \in \kappa$であって$X_i$と$X_k$のどちらか一方のみに属しているものをとれる．
$s$としてこれら$x(i, k)$をすべて含む$\kappa$の有限集合を考える． \[ A = \{ X_k \cap s : 1 \le k \le m \} \] とおく． このとき$k = 1, \dots, m$に対し，$X_k \cap s \in A$. また$s$の選び方より \[ X_k \cap s\ (k=1, \dots, m+n) \] は互いに異なる． よって，$X_k \cap s \not \in A\ (k=m+1, \dots, m+n)$．
$s$の取り方は$\kappa$通りあるので，条件を満たす$(s, A) \in I$は$\kappa$個ある． //
$X \setminus Y \ne \varnothing$または$Y \setminus X \ne \varnothing$であるが，同じことなので$X \setminus Y \ne \varnothing$とする． $x \in X \setminus Y$をとる． このとき$(\{x\}, \{\{x\}\}) \in E_X$だが，$(\{x\}, \{\{x\}\}) \not \in E_Y$. よって，$E_X \ne E_Y$. //
以上より，濃度$2^\kappa$のindependent family $\mathcal{E}$が構成できた． □
参考:
$\kappa$を無限基数とする．$\kappa$上のウルトラフィルタ―でcharacterが$2^\kappa$であるものはちょうど$2^{2^\kappa}$個ある．
$X \subset \kappa$に対し，$X^0 = X, X^1 = \kappa \setminus X$とおく． $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\kappa)$をExercise III.1.15よりとれるサイズ$2^\kappa$のindependent familyとする．
各$f: \mathcal{E} \to 2$に対して$\mathcal{U}_f$を$\kappa$上のウルトラフィルタ―で以下を満たすものとする．
\[ F_f = \{ X^{f(X)} : X \in \mathcal{E} \} \cup \{ \kappa \setminus \bigcap_{n\lt\omega} X_n^{f(X_n)} : \text{$(X_n : n \in \omega)$は互いに異なる可算個の$\mathcal{E}$の元の列} \} \] が有限交差性を持つことを言う． $X_1, \dots, X_m \in \mathcal{E}$を互いに異なる元，各$k \lt l$に対し，$(Y_{k,n} : n \in \omega)$を互いに異なる可算個の$\mathcal{E}$の元の列とする． このとき各$k$に対しうまく$n_k$をとれば$X_1, \dots, X_m, Y_{1,n_1}, Y_{2,n_2}, \dots, Y_{k,n_k}$が互いに異なるようにできる． すると \begin{align*} \bigcap_{i=1}^m X_i^{f(X_i)} \cap \bigcap_{k=1}^l (\kappa \setminus \bigcap_{n \lt \omega} Y_{k,n}^{f(Y_{k,n})}) &= \bigcap_{i=1}^m X_i^{f(X_i)} \cap \bigcap_{k=1}^l \bigcup_{n \lt \omega} Y_{k,n}^{1-f(Y_{k,n})} \\ &\supset \bigcap_{i=1}^m X_i^{f(X_i)} \cap \bigcap_{k=1}^l Y_{k,n_k}^{1-f(Y_{k,n_k})} \end{align*} であるが，independent familyの定義よりこれは最右辺はサイズ$\kappa$，特に非空である．よって有限交差性が示された． //
$|F_f| = 2^\kappa$よりcharacterが$2^\kappa$以下なのは明らか． characterが$2^\kappa$以上なこと，すなわち，$\mathcal{U}_f$が$2^\kappa$未満個の元では生成されないことを言う． 背理法で，$(A_\alpha : \alpha \lt \lambda), \lambda \lt 2^\kappa$が$\mathcal{U}_f$を生成するとする．
写像 \[ \varphi: \mathcal{E} \to {}^{\lt\omega}\lambda \] で$\varphi(X) = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$のとき，$X^{f(X)} \supset A_{\alpha_1} \cap \dots \cap A_{\alpha_n}$なものをとる． $|\mathcal{E}| = 2^\kappa \gt \lambda = |{}^{\lt\omega}\lambda|$なので鳩の巣原理より，ある$(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in {}^{\lt\omega}\lambda$があって，$\varphi^{-1}\{(\alpha_1, \dots, \alpha_n)\}$が無限集合．
$X_1, X_2, \dots$を互いに異なる$\mathcal{E}$の元で，$\varphi(X_1) = \varphi(X_2) = \dots = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$とすると \[ X_i^{f(X_i)} \supset A_{\alpha_1} \cap \dots \cap A_{\alpha_n}\ \ (\forall i \lt \omega). \] $i$を動かして共通部分をとると \[ \bigcap_{i\in\omega} X_i^{f(X_i)} \supset A_{\alpha_1} \cap \dots \cap A_{\alpha_n}. \] よって，$\bigcap_{i\in\omega} X_i^{f(X_i)} \in \mathcal{U}_f$．これは$\mathcal{U}_f$の取り方に反する． //
$f \ne g$なら$f(X) \ne g(X)$なる$X \in \mathcal{E}$がある． このとき \[ X^{f(X)} \in \mathcal{U}_f, X^{g(X)} \in \mathcal{U}_g. \] $X^{f(X)}$と$X^{g(X)}$は互いの補集合なため，$\mathcal{U}_f \ne \mathcal{U}_g$． //
以上より$U_f, \text{for $f: \mathcal{E}\to 2$}$は$2^{2^\kappa}$個のcharacter$2^\kappa$のウルトラフィルタ―である． □
省略．