作成者: @fujidig, 作成日: 2021/12/12
Moschovakisの"Descriptive Set Theory" (2009)の2B節のExercisesの解答です．
$u \mapsto P_u$を$\kappa$-Suslin systemであって次を満たすものとする．
このとき次を示せ： \[ \A^\kappa_u P_u = \bigcap_n \bigcup_{\xi_0,\dots,\xi_{n-1} \lt \kappa} P_{(\xi_0, \dots, \xi_{n-1})}. \]
\[ \A^\kappa_u P_u \subseteq \bigcap_n \bigcup_{\xi_0,\dots,\xi_{n-1} \lt \kappa} P_{(\xi_0, \dots, \xi_{n-1})} \] は仮定を使うことなく容易に示せる．そこで逆向き \[ \bigcap_n \bigcup_{\xi_0,\dots,\xi_{n-1} \lt \kappa} P_{(\xi_0, \dots, \xi_{n-1})} \subseteq \A^\kappa_u P_u \] を示す，．$x \in \bigcap_n \bigcup_{\xi_0,\dots,\xi_{n-1} \lt \kappa} P_{(\xi_0, \dots, \xi_{n-1})}$を任意にとる．すると仮定2から各nに対して \[ x \in P_{(\xi^n_0, \dots, \xi^n_{n-1})} \] なる$(\xi^n_0, \dots, \xi^n_{n-1})$が一意に存在する． また，仮定1と2より$f = (\xi_0, \xi_1, \xi_2, \dots) \in {}^\omega \kappa$があって， \[ \xi_n = \xi^m_n \text{ (for $m > n$)} \] である．このとき \[ x \in \bigcap_n P_{f \upharpoonright n} \] なので \[ x \in \A^\kappa_u P_u. \]
$\kappa$を共終数$\gt \omega$の基数とする． pointset $P \subseteq \mathcal{X}$について，$P$が$\kappa$-Suslinなことと$P$が \[ P = \bigcup_{\xi \lt \kappa} P_\xi \] と書けて，$\xi$ごとに$P_\xi$はある$\lambda \lt \kappa$について$\lambda$-Suslinなことが同値であることを示せ．
定理2B.2より後半の主張から$P$が$\kappa$-Suslinなことが従うのは明らか． よって，$P$を$\kappa$-Suslinと仮定して後半の主張を導く． $P$が$\kappa$-Suslinだから， \[ P(x) \iff (\exists f \in {}^\omega \kappa) C(x, f) \] となる閉集合$C \subseteq \mathcal{X} \times {}^\omega \kappa$がとれる．今，各$\xi \lt \kappa$について \[ P_\xi(x) \iff (\exists f \in {}^\omega \xi) C(x, f) \] とおく．共終数の仮定から \[ P = \bigcup_{\xi \lt \kappa} P_\xi \] を得る．$\xi$と$\abs{\xi}$の間の全単射をとって固定することにより$P_\xi$は閉集合$C_\xi$を使って次のように書けて，$\abs{\xi}$-Suslinなことが分かる: \[ P_\xi(x) \iff (\exists f \in {}^\omega \abs{\xi}) C_\xi(x, f). \]
$n \ge 2$について$\boldsig^1_n, \boldpi^1_n, \bolddelta^1_n$はすべて$\A = \A^{\aleph_0}$で閉じていることを示せ．
$\A$の定義 \[ \A_u P_u = (\bigvee_f) (\bigwedge_n) P_{f \upharpoonright n} \] と$\boldsig^1_n$が可算conjunction，$\exists^\scrN$で閉じていることから$\boldsig^1_n$が$\A$で閉じていることはすぐ分かる．
そこで$\boldpi^1_n$が$\A$で閉じていることを示そう．各$P_u$が$\boldpi^1_n$とする．すると \[ P_u(x) \iff (\forall \alpha)Q_u(x, \alpha) \text{ ($Q_u$ in $\boldsig^1_{n-1}$)} \] である．そして \[ P(x) \iff \A_u P_u(x) \iff (\bigvee \beta)(\bigwedge t) (\forall \alpha) Q_{\beta \upharpoonright t}(x, \alpha) \] を考える．すると \[ \neg P(x) \iff (\bigwedge \beta)(\bigvee t) (\exists \alpha) \neg Q_{\beta \upharpoonright t}(x, \alpha). \] しかし，すると \[ \neg P(x) \iff (\exists \alpha)(\bigwedge \beta)(\bigvee t) (\exists m) \neg Q_{\beta \upharpoonright t}(x, (\alpha)_m). \tag{$\ast$} \] を得る．なぜなら，$\Leftarrow$は明らか．$\Rightarrow$を示す． $(\bigwedge \beta)(\bigvee t) (\exists \alpha) \neg Q_{\beta \upharpoonright t}(x, \alpha)$を仮定する． すると各有限自然数列$\sigma$に対して$\neg Q_{\sigma}(x, \alpha)$を満たす$\alpha$があるならばそのうちの一つを選び，それらを並べて$\{\alpha_\sigma\}_{\sigma \in \omega^{\lt\omega}}$とする． $\omega$と$\omega^{\lt\omega}$の全単射$\pi \colon \omega \to \omega^{\lt\omega}$をとり，$(\alpha)_n = \alpha_{\pi(n)}$なる$\alpha \in \scrN$をとる． すると今定めた$\alpha$について$(\bigwedge \beta)(\bigvee t) (\exists m) \neg Q_{\beta \upharpoonright t}(x, (\alpha)_m)$が言える．よって上の式($\ast$)がわかった．
今 \[ Q'(x, \alpha, \beta, t, m) \iff \neg Q_{\beta \upharpoonright t}(x, (\alpha)_m) \] は$\boldpi^1_{n-1}$なので，$\neg P(x)$は$(\exists \alpha)(\bigwedge \beta)(\bigvee t) (\exists m) Q'(x, \alpha, \beta t, m)$と同値でこれは$\boldsig^1_n$である．したがって，$P$は$\boldpi^1_n$である．