作成者: @fujidig, 作成日: 2021/5/30
Moschovakisの"Descriptive Set Theory" (2009)の1f節のExercisesの解答です.
各Borel pointclass \boldsig^0_\xiは連続代入、\lor, \&, \exists^{\le}, \forall^{\le}, \exists^\omegaと\bigvee^\omegaで閉じていることを示せ。 \boldpi^0_\xi, \bolddelta^0_\xiの自然な閉包性質を主張し証明せよ。
次の3つの主張をまず示しておく。各pointclassはclopen集合を含むとして次が成り立つ。
項目1の証明。P \in \bigvee^\omega \neg \Lambdaとすると P = \bigcup_{i \in \omega} (\mathcal{X} - P_i),\ \text{each $P_i \in \Lambda$} と書ける。f: \mathcal{Y} \to \mathcal{X}を連続写像としたとき f^{-1}(P) = \bigcup_{i \in \omega} (\mathcal{Y} - f^{-1}(P_i)) であり、仮定より各f^{-1}(P_i) \in \Lambdaなのでf^{-1}(P) \in \bigvee^\omega \neg \Lambdaである。 よって連続代入で閉じている。
\begin{align*} P = \bigcup_{i \in \omega} (\mathcal{X} - P_i),\ \text{each $P_i \in \Lambda$}, \\ Q = \bigcup_{i \in \omega} (\mathcal{X} - Q_i),\ \text{each $Q_i \in \Lambda$} \end{align*} とする。 R_{2i} = P_i, R_{2i+1} = Q_iとおくと P \cup Q = \bigcup_{i \in \omega} (\mathcal{X} - R_i). よって\lorで閉じている。また、 P \cap Q = \bigcup_{i, j \in \omega} (\mathcal{X} - P_i) \cap (\mathcal{X} - Q_j) = \bigcup_{i, j \in \omega} (\mathcal{X} - (P_i \cup Q_j)) であり仮定より各P_i \cup Q_j \in \LambdaなことよりP \cap Q \in \bigvee^\omega \neg \Lambda.よって\&で閉じている。 //
項目2の証明。 P \subseteq \mathcal{X} \times \omegaとする。 P_i(x) = P(x, i)とおくと各P_iはPの連続代入なため、\Lambdaの元である。 (\exists^{\omega} P)(x) \iff x \in \bigcup_{i \in \omega} P_i となり、\bigvee^\omegaで閉じていたことから、\exists^\omega P \in \Lambdaである。 Q(x, i, n) \iff i \lt n \land P(x, i) とおく。仮定よりQ \in \Lambdaである。すると (\exists^\le P)(x, n) = \bigcup_{i \in \omega} Q(x, i, n) となるため、\exists^\le P \in \Lambdaである。 次に\forall^\leについて考える。 Q_i(n, x) \iff n = i \land P(x, 0) \land \dots \land P(x, i) とおき、R(x, n) \iff \bigvee_i Q_i(n, x)とおけばRは\forall^\le Pに等しい。よって\forall^\le P \in \Lambdaである。 //
項目3の証明。 P \in \bigcup_i \Lambda_iとすると、あるiについてP \in \Lambda_i。 すると連続写像fについてf^{-1}(P) \in \Lambda_i \subset \bigcup_i \Lambda_iである。よって\bigcup_i \Lambda_iは連続代入で閉じている。
P, Q \in \bigcup_i \Lambda_iとすると、あるi, jについてP \in \Lambda_i, Q \in \Lambda_j。 k = max \{i, j\}とおくと単調性よりP, Q \in \Lambda_k。 よって、P \cup Q, P \cap Q \in \Lambda_k \subset \bigcup_i \Lambda_i. //
さて、以上の主張を使って、問題を示そう。 \xiに関する帰納法で示す。 \xi = 1については本文で証明済み。 \eta \lt \xiまで主張が正しいとする。 すると(\boldsig^0_\eta : \eta \lt \xi)は連続代入、\lor, \&で閉じたpointclassの列の増大列であるから、\bigcup_{\eta \lt \xi} \boldsig^0_\etaも連続代入、\lor, \&で閉じている (by 主張の3番)。 よって主張1より\boldsig^0_\xi = \bigvee^\omega \neg (\bigcup_{\eta \lt \xi} \boldsig^0_\eta)も連続代入、\lor, \&で閉じている。 また、可算和の可算和はまた可算和で表せることから\boldsig^0_\xiは\bigvee^\omegaで閉じている。 したがって、主張2より\boldsig^0_\xiは\exists^\le, \forall^\le, \exists^\omegaでも閉じている。
\boldpi^0_\xiに関する閉包性質は「連続代入、\lor, \&, \exists^{\le}, \forall^{\le}, \forall^\omegaと\bigwedge^\omegaで閉じている」である。 \bolddelta^0_\xiに関する閉包性質は「連続代入、\lor, \&, \exists^{\le}, \forall^{\le}, \negで閉じている」である。 これらは\boldsig^0_\xiの閉包性質と定義から直ちに分かる。 □