作成者: @fujidig, 作成日: 2019/11/2
Moschovakisの"Descriptive Set Theory" (2009)の1B節のExercisesの解答です．
$\mathcal{X} = X_1 \times \dots \times X_k$がproduct spaceで，少なくとも一つの因子$X_i$が$\mathcal{N}$で，どの因子$X_j$も$\mathcal{N}$または$\omega$のとき，$\mathcal{X}$は$\mathcal{N}$と同相なことを示せ．
Exercise 3D.13の解答を見よ． □
$\mathcal{X} = X_1 \times \dots \times X_k$がproduct spaceで，少なくとも一つの因子$X_i$が$\omega$以外だとする．このとき$\mathcal{X}$はperfect Polish spaceである．
perfect Polish space二つの直積がperfect Polish spaceなこと，perfect Polish spaceと$\omega$の直積がperfect Polish spaceなことからわかる． □
pointset $P$が$\boldsig^0_2$であるのは \[ P = \bigcup_{i=0}^\infty F_i \] で各$F_i$が閉集合のときである．
同様にpointset $P$が$\boldpi^0_2$であるのは \[ P = \bigcap_{i=0}^\infty G_i \] で各$G_i$が開集合のときである．
$\boldsig^0_2$に関する主張のみ示す． $P \subset X$が$\boldsig^0_2$なら閉集合$P' \subset X \times \omega$がとれて， \[ P = \exists^\omega P'. \] このとき$P'$の$i \in \omega$に関するsectionを$P_i \subset X$とすれば，$P_i$は閉集合で， \[ P = \bigcup_{i=0}^\infty P_i \] となる．逆に各$P_i$が閉集合として，$P$がこの形に書けているとき \[ P' = \bigcup_{i=0}^\infty (P_i \times \{i\}) \] とおけば，$P'$は閉集合であり， \[ P = \exists^\omega P' \] となるので，Pは$\boldsig^0_2$である． □
$f: \R \to \R$を任意の関数とする．このとき \[ A = \{ x \in \R : \text{$f$は$x$で連続} \} \] は$G_\delta$集合なことを示せ.
$N \subset \R$に対して \[ V(N) = \sup_{x \in N} f(x) - \inf_{x \in N} f(x) \] とおき， \[ v(x) = \inf_{\text{$N$: nbd of $x$}} V(N) \] とおく．
∵) $\inf$の定義に戻ると$v(x) = 0$であることは， どんな$\varepsilon > 0$に対しても$x$の近傍$N$が存在して$V(N) \lt \varepsilon$となることと必要十分である．これは$f$が点$x$で連続であることの定義そのものである． //
∵) $x \in A_\varepsilon$とする．すると$v(x) \lt \varepsilon$なので，ある$x$の近傍$N$が存在して$V(N) \lt \varepsilon$である． $N \subset A_\varepsilon$を言う． $y \in N$とする．このとき，$y$の近傍$U$で$U \subset N$なものがとれる． すると$V(U) \le V(N) \lt \varepsilon$なので$y \in A_\varepsilon$である． 以上より$A_\varepsilon$が開集合なことが示された． //
主張1より， \[ A = \bigcap_{n \in \omega} A_{1/(n+1)} \] が従う．しかし，主張２より各$A_{1/(n+1)}$は開集合なのだから，$A$は$G_\delta$集合である． □
$n \ge 3$が奇数ならば，$P$が$\boldsig^0_n$であることはある開集合$G$があって \[ P(x) \iff (\exists t_1) (\forall t_2) (\exists t_3) (\forall t_4) \dots (\forall t_{n-1}) G(x, t_1, \dots, t_{n-1}) \] となること同値である． 同様に$n$が偶数ならば，$P$が$\boldsig^0_n$であることはある閉集合$F$があって \[ P(x) \iff (\exists t_1) (\forall t_2) (\exists t_3) (\forall t_4) \dots (\exists t_{n-1}) F(x, t_1, \dots, t_{n-1}) \] となること同値である．
同様の標準形を$\boldpi^0_n$ pointsetsに対しても求めよ．
$n$に関する帰納法 (変数が1個でなく一般の$m$個で示し，$\boldpi^0_n$についても同時に帰納法で示す)． 全ての場合を扱うと大変なので，一つの場合だけ示す． $P$が$\boldsig^0_{2k+1}$だとすると，$P = \exists^\omega Q$で$Q$は$\boldpi^0_{2k}$と書ける． 帰納法の仮定より，$Q$は \[ Q(x_1, \dots x_m, t_1) \iff (\forall t_2) (\exists t_3) (\forall t_4) \dots (\forall t_{n-1}) G(x_1, \dots, x_m, t_1, t_2, \dots, t_{n-1}) \] と書ける． よって， \begin{align*} P(x_1, \dots x_m) &\iff (\exists t_1) Q(x_1, \dots x_m, t_1) \\ &\iff (\exists t_1)(\forall t_2) (\exists t_3) (\forall t_4) \dots (\forall t_{n-1}) G(x_1, \dots, x_m, t_1, t_2, \dots, t_{n-1}) \end{align*} となるので$P$は題意の形である． □
$\mathcal{X}$が$\omega$と$\mathcal{N}$のコピーたちの積であるとする． $P$が$\Sigma^0_n$で$n$が奇数であるとする． このときclopen set $R$が存在して， \[ P(x) \iff (\exists t_1) (\forall t_2) \dots (\forall t_{n-1}) (\exists t_n) R(x, t_1, \dots, t_n) \] と表される．偶数の$n$については最後の量化子$\forall$として同様のことが成立する．
Exercise 1B.6より開集合$G$があって， \[ P(x) \iff (\exists t_1) (\forall t_2) (\exists t_3) (\forall t_4) \dots (\forall t_{n-1}) G(x, t_1, \dots, t_{n-1}) \] となる． 今，$\mathcal{X}$は零次元 (かつ第二可算)なのだから，開集合は可算個のclopen集合の可算和で表される: \[ G = \bigcup_n R_n. \] 集合$R$を \[ R(x, t_1, \dots, t_{n-1}, t_n) \iff R_{t_n}(x, t_1, \dots, t_{n-1}) \] と定めると，$R$もclopen集合である． すると， \[ P(x) \iff (\exists t_1) (\forall t_2) \dots (\forall t_{n-1}) (\exists t_n) R(x, t_1, \dots, t_n) \] が成立している．偶数の$n$についても証明は同様． □